Explicitación y uso del teorema de Pitágoras

Aprendizaje Esperado:

Resuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo rectángulo (tiene un ángulo recto (90°)) ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! En teorema afirma: "En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2  Para entender más fácilmente Demostración Aritmética: Consiste en sumar las áreas de los cuadros formados en los lados de un triangulo rectángulo. Demostración geométrica: Se forman los cuadrados a partir de los lados de un triangulo rectángulo (ACB) y se cortan los cuadrados formados de los catetos, identifica que se pude sobre poner en el cuadro de la hipotenusa y no sobra absolutamente nada:

Utilidad del teorema de Pitágoras

Encontrando la Longitud de la Hipotenusa

Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conocemos la longitud de sus catetos. Es decir, si conocemos las longitudes de a y b, podemos encontrar c.

Hagámoslo.

Encontrando la Longitud de un Cateto

Podemos también usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo si nos dan las medidas de la hipotenusa y del otro cateto. Considera el triángulo siguiente:

Ejemplos

1) Una ciudad se encuentra 17 km al oeste y 8 km al norte de otra. ¿Cuál es la distancia real lineal entre las dos ciudades?

 Lo primero es realizar un pequeño dibujo que nos permita identificar la situación y ver cómo definimos un triángulo rectángulo en la misma.

Este podría ser un buen dibujo, donde observamos que se cumplen los datos que nos da el problema y que además la distancia real entre las ciudades, vendría a ser la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo.

El triángulo entonces queda claramente definido y sabemos que tenemos un cateto que mide 17 km, otro que mide 8 km y que la distancia real que se nos está pidiendo es la hipotenusa del tal triángulo. Aplicamos Teorema de Pitágoras y el planteo sería así:

a² = b² + c²
a² = 8² + 17² = 64 + 289 = 353
 a = √353 = 18.8

Respuesta final: la distancia real entre las dos ciudades es de 18,8 km

2) Una escalera cuya longitud es de 3 metros  se encuentra apoyada contra una pared en el suelo horizontal y alcanza 2,8 m sobre esa pared vertical. La pregunta es: ¿a qué distancia está al pie de la escalera de la base de la pared?

 

En este caso, el dibujo que podemos hacer para interpretar la letra del problema sería algo como esto, donde nuevamente se identifica sin problemas el triángulo rectángulo.

Queda claro que la escalera cumple el rol de la hipotenusa, la altura de la pared (dato conocido) es uno de los catetos y la distancia del pie de la escalera hasta la base de la pared, es el otro cateto, precisamente la medida que se nos pide calcular y que como es una incógnita para nosotros hemos llamado “x”.

El planteo de resolución en este caso podría ser el siguiente:

a² = b² + c²
3² = b² + 2.8² 
 9 =  b² + 7.84
b² = 9 – 7.84 = 1.16
b = √1.16 = 1.08

Respuesta final: el pie de la escalera está a 1,08 mt de la pared.

3) Una cáncha de fútbol (rectangular como sabemos)  mide 125 metros de largo. Si la longitud de sus diagonales es de 150 metros. ¿cuál es el ancho del campo de juego?

 Analizando la figura, vemos que el triángulo queda comprendido por esa diagonal del campo de juego (la hipotenusa), el largo del campo (uno de los catetos) y el ancho (el otro cateto cuya longitud es  lo que se nos pide hallar). El planteo de resolución sería el siguiente:

 a²         =  b² + c²
150²     = 125² + c² 
22,500  = 15,625 + c² 
         c² = 22,500 – 15,625 = 6,875
         c  = √6,875

          c = 82.9

Respuesta final: el ancho del campo de fútbol es de 82,9 metros

 Fuentes:

 Anonimo. (2011). Teorema de Pitágoras. 6 febrero, 2016, de Disfruta las matemáticas Sitio web: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html

Ruth. (2015). Pitágoras. Enero 6, 2016, de El Rincón Del Vago Sitio web: http://html.rincondelvago.com/pitagoras_1.html

Matias. (2013). Teorema de Pitágoras. Enero 6, 2016, de Resulta.com Sitio web: http://www.resuelta.com/2015/10/13/teorema-de-pitagoras/

Morena, A. (2014). Problemas resueltos aplicando Teorema de Pitágoras . Febrero 6, 2016, de MATEMÁTICAS MODERNAS Sitio web: http://www.cva.itesm.mx/biblioteca/pagina_con_formato_version_oct/apaweb.html